A função do 2º grau é um dos temas mais recorrentes da prova de Matemática do ENEM, aparecendo em problemas de lucro máximo, lançamento de projéteis e otimização de área. Treine para o ENEM com 20 questões inéditas com gabarito comentado.

📌 Resumo para o ENEM: em f(x) = ax² + bx + c, o vértice fica em xv = −b/2a. Se a > 0, a parábola tem ponto de mínimo; se a < 0, tem ponto de máximo. O discriminante Δ = b² − 4ac define quantas raízes reais a função tem.
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🎯 20 Questões: Função do 2º Grau | ENEM

Raízes, vértice e problemas de otimização — questões inéditas no estilo da prova!

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1. A soma das raízes da função f(x) = x² − 5x + 6 é:

2. As raízes da função f(x) = x² − 4 são:

3. O valor mínimo da função f(x) = x² − 6x + 5 é:

4. O discriminante (Δ) da função f(x) = 2x² − 4x + 2 é:

5. A parábola da função f(x) = −3x² + 2x − 1 tem concavidade voltada para:

6. A altura de um objeto lançado é dada por h(t) = −5t² + 20t, com t em segundos. O instante em que o objeto atinge a altura máxima é:

7. Considerando a mesma função h(t) = −5t² + 20t do exercício anterior, a altura máxima atingida pelo objeto é de:

8. A maior raiz da função f(x) = x² − 2x − 8 é:

9. A coordenada x do vértice da parábola f(x) = x² − 8x + 12 é:

10. O número de raízes reais da função f(x) = x² + 2x + 5 é:

Um fazendeiro tem 40 m de cerca disponíveis para cercar uma área retangular junto a um rio, sem precisar cercar o lado voltado para a água. A área cercada é dada por A(x) = x(40 − 2x), sendo x a largura do retângulo.

11. Qual valor de x maximiza a área cercada?

12. A área máxima que pode ser cercada nesse problema é de:

13. A coordenada x do vértice da função f(x) = −2x² + 8x é:

14. O valor máximo da função f(x) = −2x² + 8x é:

15. O ponto em que a função f(x) = x² − 1 cruza o eixo y é:

16. A função f(x) = x² − 6x + 9 tem:

17. A soma das raízes da função f(x) = x² − x − 6 é:

18. O lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = −x² + 50x − 400, sendo x o número de unidades vendidas. A quantidade de unidades que maximiza o lucro é:

19. Considerando a mesma função L(x) = −x² + 50x − 400 do exercício anterior, o lucro máximo dessa empresa é de:

20. O vértice da parábola de f(x) = 3x² − 12x + 9 está no ponto:

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📝 Gabarito Comentado

1 — Letra AA soma das raízes é dada por −b/a: −(−5)/1 = 5.
2 — Letra Bx² − 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 ou x = −2.
3 — Letra CO vértice está em xv = −b/2a = 6/2 = 3. Substituindo: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4, que é o valor mínimo (pois a > 0).
4 — Letra DΔ = b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(2) = 16 − 16 = 0.
5 — Letra EComo a = −3 é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo e, portanto, possui um ponto de máximo.
6 — Letra AO instante de altura máxima é a coordenada t do vértice: t = −b/2a = −20 ÷ (2×−5) = 2 s.
7 — Letra Bh(2) = −5(2)² + 20(2) = −20 + 40 = 20 m.
8 — Letra CPela fórmula de Bhaskara: Δ = 4 + 32 = 36, √Δ = 6; x = (2 ± 6) ÷ 2, resultando em 4 ou −2. A maior raiz é 4.
9 — Letra Dxv = −b/2a = 8 ÷ 2 = 4.
10 — Letra EΔ = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16. Como Δ é negativo, a função não tem raízes reais.
11 — Letra AA(x) = −2x² + 40x é uma parábola com concavidade para baixo; o valor de x que maximiza a área é a coordenada do vértice: xv = −40 ÷ (2×−2) = 10.
12 — Letra BA(10) = 10 × (40 − 20) = 10 × 20 = 200 m².
13 — Letra Cxv = −b/2a = −8 ÷ (2×−2) = 2.
14 — Letra Df(2) = −2(2)² + 8(2) = −8 + 16 = 8.
15 — Letra EO ponto onde a função cruza o eixo y é f(0) = 0 − 1 = −1.
16 — Letra AΔ = (−6)² − 4(1)(9) = 36 − 36 = 0. Quando Δ = 0, a função tem uma única raiz real, chamada de raiz dupla (nesse caso, x = 3).
17 — Letra BA soma das raízes é −b/a: −(−1)/1 = 1.
18 — Letra Cxv = −50 ÷ (2×−1) = 25 unidades.
19 — Letra DL(25) = −(25)² + 50(25) − 400 = −625 + 1.250 − 400 = 225.
20 — Letra Exv = −(−12) ÷ (2×3) = 2. Substituindo: f(2) = 3(4) − 12(2) + 9 = 12 − 24 + 9 = −3. Vértice: (2, −3).
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🎓 Conclusão

Errou pouco? Você já domina vértice, raízes e Δ — foque em velocidade para o dia da prova. Errou mais de 5, reveja as questões 5, 11 e 18: elas concentram o ponto que mais derruba no ENEM, interpretar problemas de otimização (lucro, área) como funções quadráticas. 📚

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